已知关于x的二次方程an x²-an+1 x+1=0（n∈N*）的两根α,β满足6α-2αβ+6β=3,且a1=1

题目

已知关于x的二次方程an x²-an+1 x+1=0（n∈N*）的两根α,β满足6α-2αβ+6β=3,且a1=1
（1）试用an表示an+1；
（2）求证：数列{an-2/3}是等比数列；

答案

a+b=(an+1)/an
ab=1/an
6α-2αβ+6β=3
6(an+1)/an-2/an=3
an+1=an/2+1/3
(an+1)-2/3=(an-2/3)/2
((an+1)-2/3):(an-2/3)=1/2
所以 数列{an-2/3}是等比数列