已知定理：“若a,b为常数,g(x)满足g(a+x)+g(a-x)=2b,则函数y=g(x)的图像关于电(a,b)中心对称”

题目

已知定理：“若a,b为常数,g(x)满足g(a+x)+g(a-x)=2b,则函数y=g(x)的图像关于电(a,b)中心对称”
设函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),定义域为A
(1) 试证明y=f(x)的图像关于点(a,-1)成中心对称
（2）当x属于[a-2,a-1]时,求证：f(x)属于[-(1/2),0]
(3)对于给定的x1属于A,设计构造过程：x2=f(x1),x3=f(x2),...,x(n+1)=f(xn),如果xi属于A（i=2,3,4...),构造过程将继续下去；如果xi不属于A,构造过程将停止.若对任意xi属于A,构造过程可以无限进行下去,求a的值.

答案

已知定理：“若a,b为常数,g(x)满足g(a+x)+g(a-x)=2b,则函数y=g(x)的图像关于电(a,b)中心对称”
设函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),定义域为A
(1)试证明y=f(x)的图像关于点(a,-1)成中心对称
(2)当x属于[a-2,a-1]时,求证：f(x)属于[-(1/2),0]
(3)对于给定的x1属于A,设计构造过程：x2=f(x1),x3=f(x2),...,x(n+1)=f(xn),如果xi属于A（i=2,3,4...),构造过程将继续下去；如果xi不属于A,构造过程将停止.若对任意xi属于A,构造过程可以无限进行下去,求a的值.
(1)证明：∵函数f(x)=(x+1-a)/(a-x)=1/(a-x)-1
F(a+x)=-1/x-1
F(a-x)=1/x-1
F(a+x)+ F(a-x)=-2
∴f(x)的图像关于点(a,-1)成中心对称

(2)证明：∵函数f(x)=1/(a-x)-1,∴其定义域为A={x|x≠a}
F’(x)=1/(a-x)^2>0
∴当x∈(-∞,a)或(a,+∞)时,单调增
∵x属于[a-2,a-1]
F(a-2)=-1/2
F(a-1)=0
∴f(x)属于[-(1/2),0]

(3)解析：∵设计构造过程：x2=f(x1),x3=f(x2),...,x(n+1)=f(xn),如果xi属于A（i=2,3,4...),构造过程将继续下去；如果xi不属于A,构造过程将停止
要对任意xi属于A,构造过程可以无限进行下去,只要xi不取a即可
∵函数f(x)=1/(a-x)-1,∴其定义域为A={x|x≠a}
令1/(a-x)-1≠a==>x≠(a^2+a-1)/(a-1)
∴当a=-1时,函数f(x)在x=-1处无定义,即1/(a-x)-1≠a恒成立
∴xi不取-1
∴构造过程可以无限进行下去