高一数学幂函数f(x)=a^x(a^x-3a^2-1) (a>0且a不等于1)在区间[0,正无穷)上是增函数,那么实数a的取值范围是?

题目

高一数学幂函数f(x)=a^x(a^x-3a^2-1) (a>0且a不等于1)在区间[0,正无穷)上是增函数,那么实数a的取值范围是?
令y=a^x 分类讨论：
1）a属于(0,1) 则x在[0,+∞)上增时,y在(0,1]上减.又f(x)=y(y-3a^2-1) 根据二次函数对称轴分析 得3a^2+1>=2（这一步是为什么?） 所以a属于[3分之根号3,1) 2）a属于(1,+∞) 则x在[0,+∞)上增时,y在[1,+∞)上增.又f(x)=y(y-3a^2-1) 根据二次函数对称轴分析 得3a^2+1

答案

f(x)=y(y-3a^2-1) 根据二次函数对称轴分析 得3a^2+1>=2（这一步是为什么?）
解释：根据复合函数的单调性,内层函数y=a^x此时递减,则须使外层函数f(x)=y(y-3a^2-1)=y^2-(3a^2+1)y也递减,即对称轴y=(3a^2+1)/2>=1,
也即3a^2+1>=2