高等数学极限证明

题目

高等数学极限证明
用无理数是无限不循环的 及 实数是由有理数和无理数构成的 这两条证明单调有界数列必有极限!
谢谢各位高人!
要紧扣要求使用的两条定理

答案

不妨设数列X_n是单调下降的.
首先,存在最小的整数M使得M是{X_n}的下界但M+1不是.
取0到9之间的整数a_1使得M+a_1/10是{X_n}的下界但M+(a_1+1)/10不是.
然后对i=2,3,4,.
取0到9之间的整数a_i使得M+a_1/10+...+a_{i-1}/10^{i-1}+a_i/10^i是{X_n}的下界但M+a_1/10+...+a_{i-1}/10^{i-1}+(a_i+1)/10^i不是.
这样就得到了一串0-9之间的整数{a_i},下面只要用极限的定义证明小数M.a_1a_2...就是{X_n}的极限.用反证法就可以,你自己去补全.
补充：
当然已经紧扣了,否则在实数连续性都不明确的情况下凭什么说实数可以表示成无限小数.
我不帮你补全了,你自己慢慢体会吧.