已知函数f(x)=e^x,直线l的方程为y=kx+b

题目

已知函数f(x)=e^x,直线l的方程为y=kx+b
⑴若直线l是曲线y=f(x)的切线,求证：f(x)≥kx+b对任意x∈R成立；
⑵若f(x)≥kx+b对任意x∈R成立,求实数k、b应满足的条件.

答案

(1)从几何的角度不难看出,f(x)是下凸函数,故其切线总是位于f(x)图象的下方,显然有f(x)≥kx+b成立.下面从代数的角度证明：设任一切点坐标为（m,e^m)l：y-e^m=e^m(x-m),即y=(x-m+1)e^m设g(x)=f(x)-(x-m+1)·e^m=e^x-(x...