设f(n)是定义在所有正整数上且取正整数值的函数,对所有的正整数m,n有

题目

设f(n)是定义在所有正整数上且取正整数值的函数,对所有的正整数m,n有
f(f(m)+f(n))=m+n,求f(2008)的所有可能值

答案

依题意可设f(n)=[tn] (n为正整数,t>0,[ ]为取整函数符）
由f(f(m)+f(n))=m+n可得
[t([tm]+[tn])]=m+n
[[t*tm]+[t*tn]]=m+n
[t*tm]+[t*tn]=m+n
t*t=1
t=1
所以f(n)=[tn]=n
f(2008)=2008.