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题目

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在三角形ABC中,已知AB=3分之4又根号6,cosB=6分之根号6,AC边上的中线BD=根号5,求A的正弦值.

答案

延长BD至E,使DE=BD,连结AE,CE
四边形ABCE是平行四边形
在三角形BAE中,BE=2BD=2√5
∠BAE=180°-∠B,cos∠BAE=-cosB=-√6/6
根据余弦定理
BE^2=AB^2+AE^2+2AB*AEcosB
设AE=BC=x,3x^2+8x-28=0
x1=2,x2=-14/3(不合题意舍去）∴x=2
根据余弦定理
AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BCcosB
AC=2√21/3,sinB=√[1-(cosB)^2]=√30/6
根据正弦定理
BC/sinA=AC/sinB,
∴sinA=√70/14