在曲线y=x^2上某一点A处作一切线,使之与曲线以及x轴所围图形面积为1/12,求切点A坐标

题目

在曲线y=x^2上某一点A处作一切线,使之与曲线以及x轴所围图形面积为1/12,求切点A坐标
用积分的时候为什么不能用$x^2-(切线方程)=1/12?而要分别求曲线与x轴的面积减去切线与x轴面积?

答案

设切点(t,t²), t>0
y=x²
∴ y'=2x
∴ 切线斜率k=2t
∴ 切线是y-t²=2t(x-t),即 y=2tx-t²
y=0时,x=t/2
∴ S=∫[0,t]x²dx-(1/2)*(t/2)*t²=1/12
∴ t³/3-t*(t²/4)=1/2
∴ t³=1
∴ t=1
即 切线是y=2x-1
即切点是(1,1),切线方程是y=2x-1