求证,直径是圆中最大的弦,

题目

求证,直径是圆中最大的弦,

答案

楼上几位的证明的起点都嫌晚,不安全,有可能用了较晚的定理去证明较早的事实.这个命题这么基本,应该用逻辑链上更早前的、近于公理的事实以及圆和直径的基本定义来证明.
直径定义为两条共线的半径,那么命题等价于：圆中最大弦必过圆心.
注意：有的体系中(如凸论)可能把直径就定义为最大弦,那就不存在楼主这样的证明要求了.
用反证法：假定圆中有不过圆心O的最大弦AB
那么OAB就构成一个三角形,于是OA+OB>AB（三角形两边之和大于第三边）,但根据圆的定义,OA=OB=R（定长）,所以OA+OB=2R=d(直径长),即得d>AB.然而按定义,直径是圆的弦,这就与弦AB的最大性相矛盾,故假设不成立.