lim(n→∞)⁡〖(1-λ/n)^n 〗=e^(-λ) 是怎么从e 的定义里推导出来的?

题目

lim(n→∞)⁡〖(1-λ/n)^n 〗=e^(-λ) 是怎么从e 的定义里推导出来的?

答案

e的定义就是
lim(n→∞) (1 +1/n)^n =e
那么
lim(n→∞) (1 -λ/n)^n
=lim(n→∞) [(1 -λ/n)^ (-n/λ)] ^-λ
=lim(n→∞) [1+ (-λ/n)]^ (-n/λ) ^-λ
而
显然n趋于∞的时候,-λ/n也趋于0,-n/λ趋于无穷,
所以
lim(n→∞) [1+ (-λ/n)]^ (-n/λ)= e,
于是
lim(n→∞) (1 -λ/n)^n= e^(-λ)