N^3+6N^2+11N+6 一定是6的倍数吗,说明理由

题目

N^3+6N^2+11N+6 一定是6的倍数吗,说明理由

答案

N^3+6N^2+11N+6
=N^3-N+6N^2+12N+6
=N(N+1)(N-1)+6(N+1)^2
=(N+1)(N^2-N+6N+6)
=(N+1)(N^2+5N+6)
=(N+1)(N+2)(N+3)
三个连续整数中至少有一个是偶数
所以(N+1)(N+2)(N+3)是2的倍数
且三个连续整数中一定有一个是3的倍数
所以(N+1)(N+2)(N+3)是3的倍数
2和3互质
2*3=6
所以(N+1)(N+2)(N+3)是6的倍数