在△ABC中，已知|AB|=2，|BC|2|CA|2＝1/2，则△ABC面积的最大值为 _ ．

题目

在△ABC中，已知|AB|=2，

|BC|2

|CA|2

＝

1

2

，则△ABC面积的最大值为 ___ ．

答案

由题意可得：|AC|=2|BC|，设△ABC三边分别为2，a，2a，三角形面积为S，所以设p=2+a+2a2所以根据海仑公式得：S=p(p-a)(p-b)(p-c)=(a+2a)2-44•4-(2a-a)24，所以16S2=-a4+24a2-16=-（a2-12）2+128，当a2=12时，即当a=2...

由题意可得：|AC|=

2

|BC|，设△ABC三边分别为2，a，

2

a，三角形面积为S，根据海仑公式得：16S²=-a⁴+24a²-16=-（a²-12）²+128，再结合二次函数的性质求出答案即可．

本题考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模；正弦定理．

考点点评：本题主要考查海仑公式，以及二次函数的有关性质，此题对学生的运算能力要求较高，属于中档题．