以三角形ABC的AB、AC为边向三角形外作等边三角形ABD、三角形ACE,连接CD、BE相交于点O,求证明：OA

题目

以三角形ABC的AB、AC为边向三角形外作等边三角形ABD、三角形ACE,连接CD、BE相交于点O,求证明：OA
平分角DOE

答案

证明：∵ΔABD、ΔACE是等边三角形,
∴AD=AB、AC=AE,∠DAB=∠CAE=60°,
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC,
即∠DAC=∠BAE,
∴ΔADC≌ΔABE(SAS),
∴∠ACO=∠AEO,
过A作AM⊥CD于M,AN⊥BE于N,
在RTΔACM与RTΔAEN中,
AC=AE,∠ACO=∠AEO,∠AMC=∠ANE=90°,
∴ΔACM≌ΔAEN(AAS),
∴AM=AN,
∴AO平分∠DOE.