如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,∠BCD=120°,连接AC,BD交于点E. (1)若BC=CD=2,M为线段AC上一点,且AM:CM=1:2,连接BM,求点C到BM的距离.

如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,∠BCD=120°,连接AC,BD交于点E. (1)若BC=CD=2,M为线段AC上一点,且AM:CM=1:2,连接BM,求点C到BM的距离.

题目
如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,∠BCD=120°,连接AC,BD交于点E.

(1)若BC=CD=2,M为线段AC上一点,且AM:CM=1:2,连接BM,求点C到BM的距离.
(2)证明:BC+CD=AC.
答案
(1)∵AB=AD,∠BAD=60°,
∴△ABD是等边三角形,
∴∠ABD=∠ADB=60°.
∵BC=CD,
∴△ABC≌△ADC,
∴∠BAC=∠DAC=30°,∠ACB=∠ACD=60°.
∴∠AEB=∠BEC=90°,∠ABC=90°,
∴CE=
1
2
BC=1,BE=
3
,AC=2BC=4.
∵AM:CM=1:2,
∴AM=
4
3
,CM=
8
3

∴EM=
5
3
,在Rt△BEM中由勾股定理得
BM=
(
3
)2+(
5
3
)2
  =
2
13
3

过点C作CF⊥BM于点F.
BM.CF
2
CM.BE
2

2
13
3
CF
2
8
3
×
3
2

∴CF=
4
39
13

即点C到BM的距离
4
39
13


(2)证明:延长BC到点F,使CF=CB,连接DF,
∵AB=AD,∠ABD=60°,

∴△ABD是等边三角形,
∴∠ADB=60°,AD=BD,
∴BC=CD,
∴CF=CD.
∵∠BCD=120°,
∴∠DCF=180°-∠BCD=60°,
∴△DCF是等边三角形,
∴∠CDF=∠ADB=60°,DC=DF,
∴∠ADC=∠BDF,
又∵AD=BD,
∴△ACD≌△BDF,
∴AC=BF=BC+CF,
即AC=BC+CD.
举一反三
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