求z对y的偏导数:z=(1+xy)^y

题目

求z对y的偏导数:z=(1+xy)^y

答案

直接微分：
dz=d[(1+xy)^y]=y(1+xy)^(y-1)d(xy)+(1+xy)^yln(1+xy)dy
=y(1+xy)^(y-1)(xdy+ydx)+(1+xy)^yln(1+xy)dy
=y^2(1+xy)^(y-1)dx+[xy(1+xy)^(y-1)+(1+xy)^yln(1+xy)]dy
注意dz=z_xdx+z_ydy,最后一式中方括号中就是所要求：
z_y=xy(1+xy)^(y-1)+(1+xy)^yln(1+xy).
或者利用2元函数求偏导数结合复合函数求导数计算：
记z=(1+u)^v,u=xy,v=y,……