sin2a=2*cosa*sina怎么证?

题目

sin2a=2*cosa*sina怎么证?

答案

构造一腰长为1,顶角为2a的等腰三角形ABC
作其底边BC上的高AD
则AD=cosa,BD=sina
所以面积S(ABC)=2S(ABD)=2*(1/2)*cosa*sina=cosa*sina
又S(ABC)=(1/2)*1*1*sin2a=(1/2)*sin2a
故有sin2a=2*cosa*sina
以上证明的是0a为0或为180度的时候,显然有sin2a=2*cosa*sina=0
当a>180度或a<0时,可以设a=k*180度+b,这里0那么sin2a=sin(k*360度+2b)=sin2b
2*cosa*sina=2*(-cosb)*(-sinb)=2cosb*sinb
从而得证