等边三角形ABC中有一动点P,P到△ABC三边的距离分别是a,b,c,试证明a+b+c的值不变

题目

等边三角形ABC中有一动点P,P到△ABC三边的距离分别是a,b,c,试证明a+b+c的值不变

答案

解:连接PA,PB,PC,作AH⊥BC于H,PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥CA于F.
不妨设PD=a,PE=b,PF=c, AB=BC=CA=m.
则S⊿ABP+S⊿BCP+S⊿CAP=S⊿ABC.
即:AB*PD/2+BC*PE/2+CA*PF/2=BC*AH/2.
m*a/2+m*b/2+m*c/2=m*AH/2;
两边同除以m/2,得:a+b+c=AH.
即等边三角形内任一点P到三边的距离之和等于它的一条高.
等边⊿ABC不变,则它的高AH不变,所以,a+b+c的值大小也不变.