一只青蛙在平面直角坐标系上从(1,1)开始,可以按照如下两种方式跳跃
题目
一只青蛙在平面直角坐标系上从(1,1)开始,可以按照如下两种方式跳跃
1:能从任意一点(a,b)跳到点(2a,b)或(a,2b)2:对于点(a,b)如果a>b,则能从(a,b)跳到(a-b,b),如果a<b,则能从(a,b)跳到(a,b-a).
问:用以上两种方式跳跃,能否跳到一下几点:1(3,5);2(12,60);3(200,5);4(200,6)若能,请给出路线;若不能,请说明理由
答案
(1)能到达点(3,5)和点(200,6).
从(1,1)出发到(3,5)的路径为:
(1,1)→(2,1)→(4,1)→(3,1)→(3,2)
→(3,4)→(3,8)→(3,5).
从(1,1)出发到(200,6)的路径为:
(1,1)→(1,2)→(1,4)→(1,3)→(1,6)→(2,6)→(4,6)
→(8,6)→(16,6)→(10,6)→(20,6)→(40,6)→(80,6)
→(160,6)→(320,6)→(前面的数反复减20次6)→(200,6);
(2)不能到达点(12,60)和(200,5).
理由如下:
∵a和b的公共奇约数=a和2b的公共奇约数=2a和b的公共奇约数,
∴由规则①知,跳跃不改变前后两数的公共奇约数.
∵如果a>b,a和b的最大公约数=(a-b)和b的最大公约数,
如果a<b,a和b的最大公约数=(b-a)和b的最大公约数,
∴由规则②知,跳跃不改变前后两数的最大公约数.
从而按规则①和规则②跳跃,均不改变坐标前后两数的公共奇约数.
∵1和1的公共奇约数为1,12和60的公共奇约数为3,200和5的公共奇约数为5.
∴从(1,1)出发不可能到达给定点(12,60)和(200,5).
举一反三
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