如图,已知AB是⊙O的直径,锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C,作CD⊥AD,垂足为D,直线CD与AB的延长线交于点E. (1)求证:直线CD为⊙O的切线; (2)当AB=2BE,且CE=3时,求A
题目
如图,已知AB是⊙O的直径,锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C,作CD⊥AD,垂足为D
,直线CD与AB的延长线交于点E.
(1)求证:直线CD为⊙O的切线;
(2)当AB=2BE,且CE=
时,求AD的长.
答案
(1)证明:如图,连接OC
∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠CAB,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠CAB,
∴∠OCA=∠DAC,
∴AD∥CO,
∵CD⊥AD,
∴OC⊥CD,
∵OC是○O直径且C在半径外端,
∴CD为⊙O的切线;
(2)∵AB=2BO,AB=2BE,
∴BO=BE=CO,
设BO=BE=CO=x,
∴OE=2x,
在Rt△OCE中,
根据勾股定理得:OC
2+CE
2=OE
2,即x
2+(
)
2=(2x)
2∴x=1,
∴AE=3,∠E=30°,
∴AD=
.
(1)如图,连接OC,由AC平分∠DAB得到∠DAC=∠CAB,然后利用等腰三角形的性质得到∠OCA=∠CAB,接着利用平行线的判定得到AD∥CO,而CD⊥AD,由此得到CD⊥AD,最后利用切线的判定定理即可证明CD为⊙O的切线;
(2)由AB=2BO,AB=2BE得到BO=BE=CO,设BO=BE=CO=x,所以OE=2x,在Rt△OCE中,利用勾股定理列出关于x的方程,解方程求出x,最后利用三角函数的定义即可求解.
切线的判定与性质;勾股定理;圆周角定理.
此题主要考查了切线的判定与性质,同时也利用了圆周角定理及勾股定理,首先利用切线的判定证明切线,然后利用切线的性质、勾股定理列出方程解决问题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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