若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为(  ) A.1 B.2 C.22 D.3

若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为(  ) A.1 B.2 C.22 D.3

题目
若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为(  )
A. 1
B.
2

C.
2
2

D.
3
答案
过点P作y=x-2的平行直线,且与曲线
y=x2-lnx相切,
设P(x0,x02-lnx0)则有
k=y′|x=x0=2x0-
1
x0

∴2x0-
1
x0
=1,∴x0=1或x0=-
1
2
(舍去).
∴P(1,1),
∴d=
|1−1−2|
1+1
=
2

故选B.
设出切点坐标,利用导数在切点处的函数值,就是切线的斜率,求出切点,然后再求点P到直线y=x-2的最小距离.

点到直线的距离公式.

本题考查点到直线的距离,导数的应用,考查计算能力,是基础题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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