求圆心在y轴上,过点(0,1)和点(0,3)的圆上的点到直线x+y+2=0的距离最大值与最小值

题目

求圆心在y轴上,过点(0,1)和点(0,3)的圆上的点到直线x+y+2=0的距离最大值与最小值

答案

由题意知,圆心坐标为(0,2),圆半径是1
圆方程是x²+(y-2)²=1
用三角坐标变换,令圆上任意一点为(cosθ,sinθ+2)
根据距离公式：
d=|cosθ+sinθ+2+2|/√(1²+1²)=|cosθ+sinθ+4|/√2=|√2sin(θ+π/4)+4|/√2
因为0≤θ≤2π,所以sin(θ+π/4)∈[-1,1]
故
距离最大值d=|√2*1+4|/√2=2√2+1
距离最小值d=|√2*(-1)+4|/√2=2√2-1