可能会用到泰勒公式的一道题

题目

可能会用到泰勒公式的一道题
试确定a和b,使得f(x)=cosx-（1+ax2）/（1+bx2）为尽可能高阶的无穷小,并指出是x的几阶无穷小.
ax2表示a*x的平方

答案

由Taylor公式
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!+x^4的高阶无穷小
要使f(x)=cosx-(1+ax^2)/(1+bx2)为尽可能高阶的无穷小
必须抵消尽可能多的低次项
1-x^2/2!+x^4/4!=1-x^2/2+x^4/24=(24-12x^2+x^4)/24
显然(1+ax2)/(1+bx2)不能抵消此三项和
1-x^2/2!=(2-x^2)/2=(1-1/2x^2)/1
a=-1/2 b=0时f(x)=x^4/4!+x^4的高阶无穷小是x的4阶无穷小