求三重积分根号x^2+y^2 区域z=1 z=x^2+y^2

题目

求三重积分根号x^2+y^2 区域z=1 z=x^2+y^2

答案

∫∫∫Ω √(x² + y²) dV
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→1) r dr ∫(r²→1) r dz
= 2π * ∫(0→1) r²(1 - r²) dr
= 2π * ∫(0→1) (r² - r⁴) dr
= 2π * (1/3 - 1/5)
= 4π/15