在圆x2 +y2= 4上,一直线与其相交于弦AB且该直线恒过点M(0,1),直线绕M旋转,求该弦的中点坐标的轨迹方程
题目
在圆x2 +y2= 4上,一直线与其相交于弦AB且该直线恒过点M(0,1),直线绕M旋转,求该弦的中点坐标的轨迹方程
答案
设A(x1,y1) B(x2,y2) 该弦的中点坐标为(x,y)
则有x^12 +y2^2= 4 (1)
x2^2 +y2^2= 4 (2)
(1)-(2) 再逆用平方差公式整理得
k=(y1-y2)/(x1-x2)=-(x1+x2)/(y1+y2) (k为直线斜率)
又该弦的中点坐标满足x1+x2=2x,y1+y2=2y
当y不等于0时,则k=-x/y
又k=(y-1) /x
故-x/y=(y-1)/x
即x^2+y^2-y=0
当y=0时,则x=0此时也满足x^2+y^2-y=0
综上所述,该弦的中点坐标的轨迹方程为x^2+y^2-y=0 (
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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