如图所示,对称轴为直线X=7/2的抛物线经过点A（6,0）和B（0,4）

题目

如图所示,对称轴为直线X=7/2的抛物线经过点A（6,0）和B（0,4）
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标.
（2）设点E（X,Y）是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形,求四边形的OEAF的面积S与X之间的函数关系式,并写出自变量X的取值范围.
（3）1.当四边形OEAF的面积为24时,请判断OEAF是否为菱形?
2.是否存在点E,使四边形OEAF为正方形?若存在,求出点E的坐标；若不存在,请说明理由

答案

河南省2007年数学中招试题23题
（1）由抛物线的对称轴是 ,可设解析式为 ．
把A、B两点坐标代入上式,得
解之,得
故抛物线解析式为 ,顶点为
（2）∵点 在抛物线上,位于第四象限,且坐标适合
,
∴y0,－y表示点E到OA的距离．
∵OA是 的对角线,
∴ ．
因为抛物线与 轴的两个交点是（1,0）的（6,0）,所以,自变量 的
取值范围是1＜ ＜6．
① 根据题意,当S = 24时,即 ．
化简,得 解之,得
故所求的点E有两个,分别为E1（3,－4）,E2（4,－4）．
点E1（3,－4）满足OE = AE,所以 是菱形；
点E2（4,－4）不满足OE = AE,所以 不是菱形．
② 当OA⊥EF,且OA = EF时,是正方形,此时点E的
坐标只能是（3,－3）．
而坐标为（3,－3）的点不在抛物线上,故不存在这样的点E,
使 为正方形
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