用（第一)数学归纳法证明对于一切正整数n,35能整除3^(6n)-2^(6n)

题目

用（第一)数学归纳法证明对于一切正整数n,35能整除3^(6n)-2^(6n)
还有一题：
给定任意正整数n，设d(n）为n的约数个数，证明d(n)

答案

证明：
(1)n=1时,3^(6n)-2^(6n) =3^6-2^6=665=19*35,命题成立
(2)假设n=k时命题成立,即
35能整除3^(6k)-2^(6k)
即3^(6k)-2^(6k)=35m (m∈Z+)
则n=k+1时
3^(6n)-2^(6n)
=3^(6k+6)-2^(6k+6)
=(3^6)*3^(6k)-(2^6)*2^(6k)
=64*[3^(6k)-2^(6k)]+(729-64)*3^(6k)
=64*[3^(6k)-2^(6k)]+665*3^(6k)
=64*35m+19*35*3^(6k)
=35*[64m+19*3^(6k)]
即n=k+1时,35能整除3^(6n)-2^(6n)
综合(1)(2)由数学归纳法知：
对于一切正整数n,35能整除3^(6n)-2^(6n)
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给定任意正整数n,设d(n）为n的约数个数,证明d(n)<2√n
证明：
若n存在一个约数a<√n
则n/a=b是n的另一个约数,且b>√n
显然a,b是一一对应的
∵a<√n
∴a的个数<√n
∴b的个数<√n
∴d(n)=a的个数+b的个数<2√n