已知在等边三角形ABC中,D、E分别为AB、AC上的点,且BD=AE,EB与CD相交于点O,EF⊥CD于点F.求证:OE=2OF.

已知在等边三角形ABC中,D、E分别为AB、AC上的点,且BD=AE,EB与CD相交于点O,EF⊥CD于点F.求证:OE=2OF.

题目
已知在等边三角形ABC中,D、E分别为AB、AC上的点,且BD=AE,EB与CD相交于点O,EF⊥CD于点F.求证:OE=2OF.
答案
证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠ABC=60°,AB=BC,
在△ABE与△BCD中,
AB=BC
∠A=∠ABC
BD=AE

∴△ABE≌△BCD,
∴∠1=∠2,
∵∠ADO是△BCD的外角,
∴∠ADO=∠ABC+∠2=60°+∠2,
∵∠ADO是△BOD的外角,
∴∠ADO=∠1+∠BOD,
∵∠1=∠2,
∴∠BOD=∠ABC=60°,
∴∠EOF=60°,
∵EF⊥CD,
∴∠OEF=90°-∠EOF=90°-60°=30°,
∴OE=2OF.
先根据全等三角形的性质得出△ABE≌△BCD,由全等三角形的性质得出∠1=∠2,再根据三角形外角的性质求出∠BOD=60°,进而得出∠EOF=60°,由直角三角形的性质求出∠OEF的度数,故可得出结论.

等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形.

本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质及三角形外角的性质,先根据题意得出△ABE≌△BCD是解答此题的关键.

举一反三
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