在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且角B=60度,b^2=ac,求证:三角形ABC为

题目

在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且角B=60度,b^2=ac,求证:三角形ABC为
求证:三角形ABC为正三角形

答案

证明：由余弦定理,得
b^2=a^2+c^2-2ac*Cos角B
=a^2+c^2-2ac*Cos60度
=a^2+c^2-2ac*1/2
=a^2+c^2-ac
又b^2=ac
∴ac=a^2+c^2-ac
即 a^2+c^2-2ac=0
(a+c)^2=0
从而 a=c
∴角A=角C=1/2*(180度-角B)
=1/2*(180度-60度)
=60度
又已知 角B=60度
∴角A=角C=角B=60度
∴三角形ABC为正三角形