在第一象限内的曲线 y=1/x^2 上求一点Mo（xo,yo ）使过该点的切线被两坐标轴所截线段的长度为最短

题目

在第一象限内的曲线 y=1/x^2 上求一点Mo（xo,yo ）使过该点的切线被两坐标轴所截线段的长度为最短

答案

此函数的定义域是X>0.
此函数的导函数为(dy/dx)= -1/[2(x0)^(3/2)].在函数图像上任取一点P(x0,y0)（此处的0为下标）,则过点P的切线方程为 y - [1/(x0)^(1/2)]= -1/[2(x0)^(3/2)](x-x0).在此方程中分别令x=0,y=0,求得此切线横截距为3x0,纵截距为3/2(x0)^(1/2）.所以切线被坐标轴截得线段长的平方=(3x0)^2+[(3/2(x0)^(1/2)]^2=9(x0)^2+9/(4x0)=9(x0)^2+9/(8x0)+9/(8x0)>=3{[9(x0)^2]*9/(8x0)*9/(8x0)}^(1/3)=27/4.当且仅当9(x0)^2=9/(8x0),即x0=1/2时取等号.所以过P点（1/2,2^(1/2)）切线被截得的线段最短长度为(27/4)^(1/2)=[3*3^(1/2)]/2,即（3倍根号3）/2.