证明x^e

题目

证明x^e

答案

【1】
∵当x＞1时,不等式：x^e＜e^x
等价于不等式：elnx＜x.（即前面的不等式两边取对数即可）
∴只要证明当x＞1时,恒有：
elnx＜x
即可.
【2】
构造函数f(x)=x-elnx.(x＞1)
求导,可得f'(x)=1-(e/x)=(x-e)/x
显然,该函数在x=e时取得最小值,即
f(x)min=f(e)=0.
∴当x＞1时,恒有f(x)≥f(e)
等号仅当x=e时取得.
即恒有x-elnx≥0
∴恒有elnx≤x.(x＞1)
等号仅当x=e时取得.
综上可知,x^e≤e^x.（x＞1)