已知倾斜角为45的直线l过点A(1,-2)和点B,B在第一象限,|AB|=3根号2

题目

已知倾斜角为45的直线l过点A(1,-2)和点B,B在第一象限,|AB|=3根号2
（1）求B的坐标
（2）若直线l与双曲线C:(x^2)/(a^2)-y^2=1(a>0)相交于E、F两点,且线段EF的中点坐标为（4,1）求a

答案

1.设：由题意：k=tg45=1
∵直线l过点A(1,-2)
∴直线l的方程为：y=x-3
∵点B在直线l上,
∴点B的坐标为(x,x-3)
|AB|=√[(x-1)^2 + (x-3+2)^2]=3√2
解得：x=4或x=-2
代回后得：y=1或y=-5
∵B在第一象限
∴点B的坐标为(4,1)
2.∵直线l与双曲线C:(x^2)/(a^2)-y^2=1(a>0)相交于E、F两点
∴(x^2)/(a^2) - (x-3)^2 =1
x^2 - a^2(x-3)^2 =a^2
x^2 - a^2x^2 + 6a^2x -9a^2-a^2=0
(1-a^2)x^2 + 6a^2x -10a^2=0
x1+x2=6a^2/(a^2-1)
∵线段EF的中点坐标为（4,1）
(1/2)[6a^2/(a^2-1)]=4
∴a=±2
∵a>0
∴a=2