当m取何值时,关于X的方程(m-1)X²+(3m+2)x+2m-1=0有一个根大于1,另一个根小于1?

题目

当m取何值时,关于X的方程(m-1)X²+(3m+2)x+2m-1=0有一个根大于1,另一个根小于1?
我们新高一入学考的题目,请用通俗易懂的方式详细的解答.

答案

高一入学考试应该是用韦达定理做吧.其实用二次函数图像应该会简单一些.
韦达定理：设方程 a x^2 + b x + c = 0 有两根,分别为 x_1 和 x_2 .
则 x_1 + x_2 = - b / a ,x_1 x_2 = c / a .
下面解题：
对于 (m - 1) x^2 + (3 m + 2) x + 2 m - 1 = 0 ,
显然 方程应该有两根,设为 x_1 ,x_2 ,所以 m != 1 ,
判别式 (3 m + 2)^2 - 4 (m - 1) (2 m - 1) > 0 ,
所以 m^2 + 24 m > 0 ,
所以 m (m + 24) > 0 ,
所以 m < - 24 ,或 m > 0 ,且 m != 1 ,
x_1 + x_2 = (3 m + 2) / (1 - m) ,x_1 x_2 = (2 m - 1) / (m - 1) ,
如果 x_1 ,x_2 一个大于 1 ,一个小于 1 ,
则 x - 1 的值一个大于 0 ,一个小于 0 ,
所以 (x_1 - 1) (x_2 - 1) < 0 ,
所以 x_1 x_2 - (x_1 + x_1) + 1 < 0 ,
所以 (2 m - 1) / (m - 1) - (3 m + 2) / (1 - m) + 1 < 0 ,
所以 6 m / (m - 1) < 0 ,
所以 m (m - 1) < 0 ,
所以 0 < m < 1 .
综上,0 < m < 1 .
使用二次函数图像
对于 (m - 1) x^2 + (3 m + 2) x + 2 m - 1 = 0 ,
设 f(x) = (m - 1) x^2 + (3 m + 2) x + 2 m - 1 ,
观察可知,f(-1) = (m - 1) - (3 m + 2) + 2 m - 1 = 0 ,
所以 f(x) 恒过点 ( -1 ,0 ),
所以 若原方程的两个根一个大于 1 ,一个小于 1 ,
则 若 f(x) 开口向上,则 f(1) < 0 ,
若 f(x) 开口向下,则 f(1) > 0 ,
所以 若 m > 1 ,则 f(1) = (m - 1) + (3 m + 2) + 2 m - 1 = 6 m < 0 ,
此时 m < 0 ,与 m > 1 矛盾,舍去；
若 m < 1 ,则 f(1) = 6 m > 0 ,
此时 0 < m < 1 ,
综上,0 < m < 1 .