已知函数f(x)=(1+ln(x+1))/x,当x>0时,f(x)>k/(x+1)恒成立,求正整数k的最大值

题目

已知函数f(x)=(1+ln(x+1))/x,当x>0时,f(x)>k/(x+1)恒成立,求正整数k的最大值
若使f(x)>k/(x+1)恒成立
即(1+ln(x+1))/x>k/(x+1)恒成立
因x+1>1
故即是使(x+1)(1+ln(x+1))/x>k恒成立
令g(x)=(x+1)(1+ln(x+1))/x
显然只要g(x)最小值＞k即可
g′(x)=[x-1-ln(x+1)]/x²
令h(x)=x-1-ln(x+1)
h′(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)
故x>0时,h′(x)>0
即h(x)在(0,+∞)上单调递增
故h(x)>h(0)=-1
显然g′(3)=[2-ln4]/9>0
g′(2)=[1-ln3]/4

答案

g(x)的最小值为g(t0),取值在3到4之间,k小于g(x)最小值,k最大能取到3（正整数）