两条直线的位置关系（在线等）

题目

两条直线的位置关系（在线等）
1
已知三角形ABC的顶点A（3.-1）,AB边上的中线所在直线方程为3X+7Y-19=0,AC边上的高所在直线的方程为6X-5Y-15=0,求BC边所在直线的方程.
2
已知三角形ABC的顶点A(1.4),角B角C的平分线所在直线方程分别为X-2Y=0和X+Y-1=0,求BC边所在的直线方程

答案

1.将AB边上的中线所在的直线平移至A点后新的直线方程与原方程相比,X、Y的系数不变,仅常数项变；而将AB边上的中线所在的直线平移至B点,新直线方程的常数项变化量是刚刚的相反数.这样就很快算出,平移至B点的直线方程为：3X+7Y+2=0,将此方程与AC边上的高所在直线的方程6X-5Y-15=0(过B点)联立,算出B点坐标为(5/3,-1).
根据AC边上的高所在直线的斜率6/5,得出AC边所在直线的斜率：-5/6,再写出AC边所在直线方程：Y+1=-5/6(X-3),算它与AB边上的中线所在直线(过C点)的交点坐标：C(-3,4).
由B、C,算直线BC：Y+1=-15/14(X-5/3).
2.这个算起来有点繁...
首先,∠B∠C平分线的交点(设为O)也是∠A平分线经过的点,联立X-2Y=0和X+Y-1=0可算出O(2/3,1/3),顺便算出直线AO(∠A平分线)的斜率为11(后面用得着)；
画图,发现直线AO与直线X-2Y=0(∠B平分线)的夹角等于1/2(∠A+∠B),即tan[1/2(∠A+∠B)]=(11-1/2)/(1+11*1/2)=21/13,而直线AO与直线X+Y-1=0(∠C平分线)的夹角等于1/2(∠A+∠C),即tan[1/2(∠A+∠C)]=(-1-11)/[1+(-1)*11]=6/5,类似地直线X+Y-1=0与直线X-2Y=0的夹角等于1/2(∠C+∠B),即tan[1/2(∠C+∠B)]=[1/2-(-1)]/[1+1/2*(-1)]=3；
接下来,可以算tan(1/2∠A)：
tan[∠A+1/2(∠B+∠C)]=tan[1/2(∠A+∠B)+1/2(∠A+∠C)]=(21/13+6/5)/[1-(21/13)*(6/5)]=-3,
tan(∠A)=tan[∠A+1/2(∠B+∠C)-1/2(∠C+∠B)]=(-3-3)/[1+(-3)*3]=3/4
然后算tan(1/2∠A)：
tan(∠A)=2tan(1/2∠A)/[1-tan^2(1/2∠A)]=3/4,解此方程,由1/2∠A<90°,有tan(1/2∠A)>0,负根舍去,tan(1/2∠A)=1/3；
后面就好算了：
AB边的倾斜角由直线AO倾斜角减1/2∠A得出,所以直线AB斜率可算出=(11-1/3)/(1+11*1/3)=16/7,直线AB方程为Y-4=16/7(X-1)；
AC边的倾斜角由直线AO倾斜角加1/2∠A得出,所以直线AC斜率可算出=(11+1/3)/(1-11*1/3)=-17/4,直线AB方程为Y-4=-17/4(X-1)；
B点和C点坐标可以算出：B(-24/25,-12/25),C(29/13,-16/13)；
BC边所在的直线方程算得：Y+12/25=-4/17(X+24/25),呼.
吃力不讨好