已知数列{an}的通项公式为an=|n-13|,那么满足ak+ak+1+…+ak+19=102的正整数k=_.

已知数列{an}的通项公式为an=|n-13|,那么满足ak+ak+1+…+ak+19=102的正整数k=_.

题目
已知数列{an}的通项公式为an=|n-13|,那么满足ak+ak+1+…+ak+19=102的正整数k=______.
答案
∵an=|n-13|,∴an=
13−n    n≤13
n−13    n>13

∴当n≤13时,{an}的前n项和为Sn=
25n−n2
2

当n>13时,{an}的前n项和为Sn=
1
2
(n2−25n+312)

满足ak+ak+1+…+ak+19=102,即ak+ak+1+…+ak+19=Sk+19-Sk-1=102,k是正整数
而Sk+19=
1
2
[(k+19)2−25(k+19)+312]
=
1
2
(k2+13k+198)
①当k-1≤13时,Sk-1=-
1
2
k2+
27
2
k-13,
所以Sk+19-Sk-1=
1
2
(k2+13k+198)-(-
1
2
k2+
27
2
k-13)=102,解之得k=2或k=5
②当k-1>13时,Sk-1=
1
2
[(k−1)2−25(k−1)+312]
=
1
2
(k2-27k+338)
所以Sk+19-Sk-1=
1
2
(k2+13k+198)-
1
2
(k2-27k+338)=102,解之得k不是整数,舍去
综上所述,满足条件的k=2或5
故答案为:2或5
利用等差数列的求和公式,可得{an}的前n项和Sn关于n的分段表达式.已知等式可化为ak+ak+1+…+ak+19=Sk+19-Sk-1=102,k是正整数,通过讨论k-1与13的大小,分别得到关于k的方程,解之即得满足条件的正整数k值.

数列的求和.

本题给出一个与等差数列有关的数列,叫我们找出满足已知等式的最小正整数k,着重考查了等差数列的通项与求和公式,考查了分类讨论的数学思想,属于中档题.

举一反三
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