向量m=(cos x,sin x) n=(√2-sin x,cos x),x属于（π,2π）,且m+n的绝对值为8√2/5,求cos（x/2+π/8）

题目

向量m=(cos x,sin x) n=(√2-sin x,cos x),x属于（π,2π）,且m+n的绝对值为8√2/5,求cos（x/2+π/8）

答案

m+n=(cosx+√2-sinx,sinx+cosx)
因为m+n的绝对值为8√2/5
所以√(m^2+2mn+n^2)=√(m+n)^2=8√2/5
所以m^2+2mn+n^=(m+n)^2=(8√2/5)^2=128/25
(m+n)^2=(cosx+√2-sinx)^2+(sinx+cosx)^2
=
[(cosx)^2+(sinx)^2]+2+2√2cosx-2√2sinx-2sinxcosx+[(cosx)^2+
(sinx)^2]+2sinxcosx
=
4+2√2(cosx-sinx)
=
4+4(√2/2cosx-√2/2sinx)
=
4+4sin(π/4-x)
因为(m+n)^2=(8√2/5)^2=128/25
所以4+4sin(π/4-x)=128/25
4sin(π/4-x)=28/25
sin(π/4-x)=7/25
cos[π/2-(π/4-x)]=cos(x+π/4)=7/25
因为cos(x/2+π/8)=cos1/2(x+π/4)
所以2[cos(x/2+π/8)]^2-1=cos(x+π/4)=7/25
[cos(x/2+π/8)]^2=16/25
cos(x/2+π/8)的绝对值=4/5
因为x属于（π,2π）
所以2x属于（π/2,π）
所以x/2+π/8属于（5π/8,9π/8）
所以为负值
所以cos(x/2+π/8)=-4/5
答：cos(x/2+π/8)=-4/5