设f（x）=2x3+ax2+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线x=-1/2对称，且f′（1）=0 （Ⅰ）求实数a，b的值 （Ⅱ）求函数f（x）的极值．

题目

设f（x）=2x³+ax²+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线x=-

1

2

答案

（Ⅰ）因f（x）=2x³+ax²+bx+1，故f′（x）=6x²+2ax+b
从而f′（x）=6(x+

a

6

)2+b−

a2

6

，即y=f′（x）关于直线x=-

a

6

对称，
从而由条件可知-

a

6

=-

1

2

，解得a=3
又由于f′（x）=0，即6+2a+b=0，解得b=-12
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x³+3x²-12x+1
f′（x）=6x²+6x-12=6（x-1）（x+2）
令f′（x）=0，得x=1或x=-2
当x∈（-∞，-2）时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，-2）上是增函数；
当x∈（-2，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（-2，1）上是减函数；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数．
从而f（x）在x=-2处取到极大值f（-2）=21，在x=1处取到极小值f（1）=-6．