已知PA⊥平面ABC,AC⊥AB,AP=BC=2,∠CBA=30°,D,E分别是BC,AP的中点

题目

已知PA⊥平面ABC,AC⊥AB,AP=BC=2,∠CBA=30°,D,E分别是BC,AP的中点
1.求异面直线AC与ED所成角的大小
2.求△PDE绕直线PA旋转一周所构成的旋转体的体积

答案

1.
首先求出DE,
连接AD,PA⊥平面ABC推出,PA⊥AD,所以：
DE²=AE²+AD²=（AP/2)²+（BC/2）²=2
DE=√2
寻找异面直线AC与ED的所成角
平面ABC内,过D做DF‖AC交AB于F,可知：直线AC与ED所成的角,就是直线DF与ED所成的角,即∠EDF,连接EF；
容易求出：DF²=（AC/2）²=1/2；EF²=（PB/2)²=（PA²+AB²）/4=3/2；
DF=√2/2,EF=√6/2
于是,cos∠EDF=（DF²+DE²-EF²）/2DF*DE
=（1/2 +2 -3/2）/2*√2/2*√2
=1/2
所以：∠EDF=60°
异面直线AC与ED所成的角为60°
2.
注意到PA⊥面ABC,那么,△PDE绕直线PA旋转一周所构成旋转体的体积就是：
△PAD绕PA旋转一周旋转体的体积 - △EAD绕PA旋转一周旋转体的体积
=π/3*AD²*PA- π/3*AD²*EA
=π/3*AD²（PA-EA)
AD=BC/2=1,PA-EA=PE=PA/2=1代入上式
体积为：π/3