设F(x)是f(x)的一个原函数,F(1)=((√2)π)/4,若x>0时,有f(x)F(x)=(arctan√x)/(√x(1+x)),试求f(x).

题目

设F(x)是f(x)的一个原函数,F(1)=((√2)π)/4,若x>0时,有f(x)F(x)=(arctan√x)/(√x(1+x)),试求f(x).

答案

令G(x)=F²(x),那么G'(x)=2F(x)F'(x)=2F(x)f(x)=(2arctan√x)/(√x(1+x))
积分可得G(x)=2arctan²√x+C
又F(1)=((√2)π)/4
∴G(1)=π²/8
代入可得C=0,于是G(x)=2arctan²√x=F²(x)
∴F(x)=√2arctan√x
f(x)=F'(x)=√2/(2√x(1+x))