初三二次函数题

题目

初三二次函数题
已知抛物线y1=a(x-2)²-4(a≠0)经过点(0,-3),顶点为M.将抛物线y1向上平移b个单位可使平移后得到的抛物线y2经过坐标原点,抛物线y2的顶点为A,与x轴的另一个交点为B.
（3）①点p是y轴上一点当丨PA-PB丨的值最大是,求p点坐标
②点E是x轴上一点,在抛物线y2是是否存在点F,使O(原点)、M、E、F四点构成以OM为一边的平行四边形?若存在,请求出点F的坐标：若不存在,请说明理由.

答案

第一小题：∵经过（0,-3）的抛物线y1向上平移,经过（0,0）得到抛物线y2,
∴向上平移了3个单位,即b=3；
故抛物线y2：y2=1/4(x-2)²-4+3=1/4(x-2)²-1．
第二小题：①∵|PA-PB|≤AB,且当且仅当P、A、B共线时取等号,
∴|PA-PB|的值最大时,P、A、B共线；
由（2）的抛物线解析式知：A（2,-1）、B（4,0）,设直线AB的解析式：y=kx+b,
有：
2k+b=-14
k+b=0
解得
k=12
b=-2
故直线AB：y=1/2x-2,则P（0,-2）．
②易知M（2,-4）,分两种情况讨论：
Ⅰ、点F在x轴下方时,由于OM是平行四边形的边,则MF∥x轴,即F点的纵坐标为-4,显然点F不可能在抛物线y2上,此种情况不成立；
Ⅱ、点F在x轴上方时,由于平行四边形是中心对称图形,所以F点的纵坐标为4；
当y2=4时,1/4(x-2)²-1=4,解得：x=2±2√5
则F(2-2√5,4)或(2+2√5,4)；
综上,存在符合条件的F点,且坐标为(2-2√5,4)或(2+2√5,4)；