已知f(x)=ax^3+3x^2-x-1 （a为常数）

题目

已知f(x)=ax^3+3x^2-x-1 （a为常数）
（1）当a=-3时,求证：f(x)在R上是减函数；
（2）若函数y=f(x)-2x^2,在[1/2,1]上是减函数,求a的取值范围.
（注：^后面数字代表多少次方,

答案

求导.
（1）当a=-3时,f(x)'=3ax^2+6x-1=-9x^2+6x-1=-(9x^2-6x+1)=-(3x-1)^2恒小于或等于零,及f(x)上任何一点的切线的斜率都为负或零.所以该函数在R上是减函数.
（2）同样,求导：记y=f(x)-2x^2为G(X),则：
G（x）'=f(x)'-4x=3ax^2+6x-1-4x=3ax^2+2x-1
因为函数y=f(x)-2x^2,在[1/2,1]上是减函数,所以：
3ax^2+2*1/2-1小于或等于0,3ax^2+2*1-1小于或等于零.
所以,解得a小于或等于零或a小于或等于-1\3
所以a的范围是a小于或等于-1/3