AB为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,若|AB|=1,则AB中点的横坐标为_;若AB的倾斜角为α,则|AB|=_.
题目
AB为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,若|AB|=1,则AB中点的横坐标为______;若AB的倾斜角为α,则|AB|=______.
答案
抛物线y
2=2px,∴焦点为(
,0),准线方程为x=-
设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2)
①根据抛物线性质可知,x
1+
+x
2+
=|AB|=1
∴x
1+x
2=1-p
∴AB中点的横坐标
=
②k=tanα
所以直线AB是y-0=tanα(x-
)
代入抛物线方程得
tan
2αx
2-tan
2αpx+tan
2α
=2px
tan
2αx
2-(tan
2αp+2p)x+tan
2α
=0
所以x
1+x
2=
抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离
所以A横坐标是x
1,所以A到准线距离=x
1+
B到准线距离=x
2+
所以AB=AF+BF=
设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),当|AB|=1时,根据抛物线性质可知x
1+
+x
2+
=|AB|求得x
1+x
2,进而可得AB中点的横坐标;当AB的倾斜角为α,可知直线AB斜率为k=tanα设直线AB是y-0=tanα(x-
)与抛物线方程联立消去y求得x
1+x
2,进而根据抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离求得|AB|.
抛物线的简单性质.
本题主要考查了抛物线的性质.要特别利用好“抛物线的抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离”的性质.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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