对于函数f(x),若存在x0∈R,使方程f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点,已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0). (1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点
题目
对于函数f(x),若存在x0∈R,使方程f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点,已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0).
(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点;
(2)当a=1,b=-2时,求f(x)在[t,t+1]上的最小值g(t).
(3)若对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围.
答案
(1)由题意得:f(x)=x
2-x-3 由于x
0是不动点
因此得:
f(x0)=x02−x0−3=x0即:
x02−2x0−3=0解得:x
0=-1或3
即3和-1是f(x)的不动点.
(2)①当t≤
−时,g(t)=t
2+t-3
②当-
<t<
时,g(t)=-
③当t≥
时,g(t)=t
2-t-3
(3)因为f(x)恒有两个不动点
f(x)=ax
2+(b+1)x+b-1=x
即:ax
2+bx+b-1=0恒有两个不等实根
即对于任意的实数都有△=b
2-4a(b-1)>0恒成立
进一步得:对任意的实数b,b
2-4ab+4a>0恒成立.
△1=(4a)2−4(4a)<0得到:a
2-a<0
0<a<1
故答案为:(1)3和-1是f(x)的不动点
(2))①当t≤
−时,g(t)=t
2+t-3
②当-
<t<
时,g(t)=-
③当t≥
时,g(t)=t
2-t-3
(3)0<a<1
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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