对于函数f（x），若存在x0∈R，使方程f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点，已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b-1（a≠0）． （1）当a=1，b=-2时，求函数f（x）的不动点

题目

对于函数f（x），若存在x₀∈R，使方程f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的不动点，已知函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-1（a≠0）．
（1）当a=1，b=-2时，求函数f（x）的不动点；
（2）当a=1，b=-2时，求f（x）在[t，t+1]上的最小值g（t）．
（3）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．

答案

（1）由题意得：f（x）=x²-x-3 由于x₀是不动点
因此得：f(x0)＝x02−x0−3＝x0
即：x02−2x0−3＝0
解得：x₀=-1或3
即3和-1是f（x）的不动点．
（2）①当t≤−

1

2

时，g（t）=t²+t-3
②当-

1

2

＜t＜

1

2

时，g（t）=-

13

4

③当t≥

1

2

时，g（t）=t²-t-3
（3）因为f（x）恒有两个不动点
f（x）=ax²+（b+1）x+b-1=x
即：ax²+bx+b-1=0恒有两个不等实根
即对于任意的实数都有△=b²-4a（b-1）＞0恒成立
进一步得：对任意的实数b，b²-4ab+4a＞0恒成立．
△1＝(4a)2−4(4a)＜0
得到：a²-a＜0
0＜a＜1
故答案为：（1）3和-1是f（x）的不动点
（2））①当t≤−

1

2

时，g（t）=t²+t-3
②当-

1

2

＜t＜

1

2

时，g（t）=-

13

4

③当t≥

1

2

时，g（t）=t²-t-3
（3）0＜a＜1