△ABC为等腰直角三角形,∠bac=90°,e为ab上任意一动点,bc=2,ce为斜边做等腰rt△cde,连接ad,

题目

△ABC为等腰直角三角形,∠bac=90°,e为ab上任意一动点,bc=2,ce为斜边做等腰rt△cde,连接ad,
求证,四边形abcd的面积有最大值,且最大值为3/2

答案

∵△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,
∴AB=AC=√2/2BC=√2
∴S△ABC=½AB·AC=1
作DM⊥AB,DN⊥AC,容易得△DME≌△DNC
∴DM=DN=√2/2AD
∴四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ADC=1+½DN·AC=1+√2/2DN=1+AD/2
∴当AD最大时,面积最大,此时点E与A重合,AD=√2/2AC=1
∴四边形ABCD的最大面积=1+1/2=3/2