已知向量OP1,OP2,OP3满足条件OP1+OP2+OP3=0,|OP1|=|OP2|=|OP3|=1,求证三角形P1P2P3是正三角形

题目

已知向量OP1,OP2,OP3满足条件OP1+OP2+OP3=0,|OP1|=|OP2|=|OP3|=1,求证三角形P1P2P3是正三角形
最好能讲两种方法

答案

OP1＋OP2＝-OP3
(OP1+OP2)^2=(-OP3)^2
OP1^2+2OP1*OP2+OP2^2=OP3^2
|OP1|^2+2|OP1|*|OP2|*cosP1OP2+|OP2|^2=|OP3|^2
cosP1OP2=-1/2
角P1OP2=120度
同理：角P1OP3=角P2OP3=120度.
又｜OP1|=|OP2|=|OP3|
可得 |P1P2|=|P2P3|=|P1P3|
故三角形P1P2P3是等边三角形.