数列{an}中,an>0,且{anan+1}是公比为q(q>0)的等比数列,满足anan+1+an+1an+2>an+2an+3(n∈N),则公比q的取值范围是( ) A.0<q<1+22 B.0<
题目
数列{a
n}中,a
n>0,且{a
na
n+1}是公比为q(q>0)的等比数列,满足a
na
n+1+a
n+1a
n+2>a
n+2a
n+3(n∈N),则公比q的取值范围是( )
A.
0<q<B.
0<q<C.
0<q<D.
0<q<
答案
法1:∵{a
na
n+1}是公比为q(q>0)的等比数列,
∴设
anan+1=(a1a2)qn−1,
不等式可化为
(a1a2)qn−1+(a1a2)qn>(a1a2)qn+1,
∵a
n>0,q>0,
∴q
2-q-1<0,
解得:
0<q<;
法2:令n=1,不等式变为a
1a
2+a
2a
3>a
3a
4,
∴
a1a2+a1a2⋅q>a1a2q2,
∵a
1a
2>0,∴1+q>q
2,
解得:
0<q<,
故选B
法1:由{anan+1}是公比为q(q>0)的等比数列,设此等比数列的公比为q,利用等比数列的通项公式表示出anan+1的通项,利用得到的通项化简已知的不等式,根据an>0且q>0,得到a1a2>0,在不等式左右两边同时除以a1a2,得出关于公比q的不等式,求出不等式的解集即可得到q的取值范围;
法2:把n=1代入已知的不等式,得到a1a2+a2a3>a3a4,由{anan+1}是公比为q(q>0)的等比数列,设此等比数列的公比为q,利用等比数列性质化简后,根据a1a2>0,在不等式左右两边同时除以a1a2,得出关于公比q的不等式,求出不等式的解集即可得到q的取值范围.
等比数列的性质.
此题考查了等比数列的性质,等比数列的通项公式,以及一元二次不等式的解法,熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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