在平面直角坐标系xoy中,抛物线y=x2+bx+c与X轴交于A,B两点(点A在点B的左侧,与y轴交于点C,点B的坐标为（3,0）,将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B,C两点.

题目

在平面直角坐标系xoy中,抛物线y=x2+bx+c与X轴交于A,B两点(点A在点B的左侧,与y轴交于点C,点B的坐标为（3,0）,将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B,C两点.
1.求直线BC及抛物线解析式；
2.设抛物线的顶点为D,点P在抛物线的对称轴上,且∠APD=∠ACB,求点P的坐标；

答案

（1）∵点C（2,3）在直线y=kx+1上,
∴2k+1=3．
解得k=1．
∴直线AC的解析式为y=x+1．
∵点A在x轴上,
∴A（-1,0）．
∵抛物线y=-x²+bx+c过点A、C,
∴ {-1-b+c=0,-4+2b+c=3
解得 {b=2,c=3
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．
（2）由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4,
可得抛物线的对称轴为x=1,B（3,0）．
∴E（1,2）．
根据题意,知点A旋转到点B处,直线l过点B、E．
设直线l的解析式为y=mx+n．
将B、E的坐标代入y=mx+n中,
联立可得m=-1,n=3．
∴直线l的解析式为y=-x+3．
∴P（0,3）．
过点E作ED⊥x轴于点D．
∴S△PAE=S△PAB-S△EAB= 1/2AB•PO- 1/2AB•ED= 1/2×4×（3-2）=2．
（3）存在,点F的坐标分别为（3-√ 2,0）,（3+ √2,0）,（-1- √6,0）（-1+ √6,0）．