如图,已知△ABC中,AB>AC,BE、CF都是△ABC的高,P是BE上一点且BP=AC,Q是CF延长线上一点且CQ=AB,连接AP、AQ、QP,求证: (1)AP=AQ; (2)AP⊥AQ.
题目
如图,已知△ABC中,AB>AC,BE、CF都是△ABC的高,P是BE上一点且BP=AC,Q是CF延长线上一点且CQ=AB,连接AP、AQ、QP,求证:
(1)AP=AQ;
(2)AP⊥AQ.
答案
证明:(1)∵BE、CF都是△ABC的高,
∴∠AFC=∠AFQ=∠AEB=90°.
∴∠BAC+∠ABE=90°,∠BAC+∠ACF=90°,
∴∠ABE=∠ACF.
在△ABP和△QCA中
,
∴△ABP≌△QCA(ASA),
∴AP=QA;
(2)∵△ABP≌△QCA,
∴∠BAP=∠CQA.
∵∠CQA+∠FAQ=90°,
∴∠BAP+∠FAQ=90°,
即∠PAQ=90°,
∴AP⊥AQ.
(1)先由条件可以求出∠ABP=∠QCA,就可以得出△ABP≌△QCA,就可以得出AP=AQ;
(2)由△ABP≌△QCA就可以得出∠BAP=∠CQA,由∠CQA+∠FAQ=90°就可以得出结论.
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