求(a+x)^x的导数及其二次导数

题目

求(a+x)^x的导数及其二次导数

答案

令y=(a+x)^x
lny=xln(a+x)
两边对x求导得：y'/y=ln(a+x)+x/(a+x)
则：y'=y[ln(a+x)+x/(a+x)]=(a+x)^x[ln(a+x)+x/(a+x)]
下面先求ln(a+x)+x/(a+x)的导数：
[ln(a+x)+x/(a+x)]'=1/(a+x)+[a+x-x]/(a+x)²=(2a+x)/(a+x)²
下面对y'=y[ln(a+x)+x/(a+x)]两边求导得：
y''=y'[ln(a+x)+x/(a+x)] + y[ln(a+x)+x/(a+x)]'
=(a+x)^x[ln(a+x)+x/(a+x)]²+(a+x)^x(2a+x)/(a+x)²
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