一已知a＞b＞c,求证 1／（a－b） ＋1／（b-c）≥4／（a-c）

题目

一已知a＞b＞c,求证 1／（a－b） ＋1／（b-c）≥4／（a-c）
二平面内有四个点,没有三点共线,证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形

答案

(1)用重要不等式可证:
因为(a-b+b-c)[ 1／（a－b） ＋1／（b-c）]
=1+(a-b)/(b-c)+(b-c)/(a-b)+1
=2+(a-b)/(b-c)+(b-c)/(a-b)
又因为a＞b＞c,所以(a-b)/(b-c)+(b-c)/(a-b)>=2
所以(a-b+b-c)[ 1／（a－b） ＋1／（b-c）]>=4
所以1／（a－b） ＋1／（b-c）≥4／（a-c）
(2)用反证法可证:
证明:假设以任意三个点为顶点的三角形都是锐角三角形,则以这四个顶点连成的凸四边形的四个内角和小于360度,这与凸四边形的四个内角和等于360度矛盾,所以以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形.